Exkurs in die Ballistik mit SciLab

Die geodätische Breite (auch geografische Breite oder Breitengrad genannt) ist durch den Winkel Θ gegeben. Das mag überraschen, aber zu dieser Definition passt etwa, dass ein Seemann am Punkt P den Breitengrad seiner Position bestimmt, indem er mit dem Sextanten die Höhe des Polarsterns über 'seinen' Horizont misst – und dieser Horizont ist gerade durch die Tan­gential­ebene an den Punkt P gegeben.

Die Bestimungsstücke der Ellipse sind die bei­den Halbachsen a und b.

a > b

Als Hilfsgrößen werden die Exzentrizität e und ε eingeführt.

Einige einfache Zusammenhänge für diese Hilfs­grö­ßen sind

Für die Halbachsen a und b des oblaten Ellipsoids gilt a>b. Ist das El­lip­so­id dazu ro­ta­tions­sym­me­trisch um die z-Ach­se, so erfüllen die kar­te­si­schen Ko­or­di­na­ten x,y,z eines Punktes P auf dem Ellipsoid die Gleichung:

Die Parametrisierung der kartesischen Koordinaten x,y,z in sphärischen Po­lar­ko­or­di­na­ten R,ϑ,φ ist gegeben durch:

Der Erdradius bezogen auf eine gegebene geodätische Brei­te Θ ist angenähert:

Das WGS-84 Ellipsoid
a und b sind die Längen der Halbachsen. ω ist die Ro­ta­ti­ons­ge­schwin­dig­keit der Erde um die Nord-Süd-Achse.

Der Ra­dius des WGS-84 Ellipsoids nimmt also nach Norden um gut 21 km ab, das sind 0,34%.

a   = 6378137,0   m
b   = 6356752,314 m
a-b =   21384,686 m

ε   = 3,352811E-03
e   = 8,181919E-02
e2  = 3,358431E-03

ω   = 7,292115E-05 rad/s

Die geozentrische und die geodätische Breite differieren höchstens um 0,2° und zwar in den mittleren Breitengraden, wie die folgende Grafik zeigt:

Das Newtonsche Gesetz ist in einem Iner­ti­al­sys­tem gültig.

Solch ein rechtshändiges ruhendes Ko­or­di­na­ten­sy­stem ist mittels kar­te­si­scher Ko­or­di­na­ten wie folgt definiert:

Das Koordinatensystem ist im Erdmittelpunkt P_M befestigt, die x- und y-Achsen liegen in der Äqua­torialsebene, zu einem bestimmten Zeit­punkt (hier t=0) zeigt die x-Achse in Richtung des Null­meridians, die z-Achse zeigt nach Norden und markiert die Erd­ro­ta­ti­ons­ach­se.

Ein Punkt P hat in diesem geozentrischen Inertialsystem die kartesischen Koordinaten und die sphärischen Polarkoordinaten .

Ein fest an die Erde gebundenes, mit­ro­tie­ren­des rechtshändiges, Ko­or­di­na­ten­sy­stem K_f (f steht für fixiert) ist wie folgt definiert:

In diesem Koordinatensystem sind die X⁽ⁱ⁾ die kartesischen Koordinaten eines Pun­ktes P.

Dieses Koordinatensystem ist im Erdmittelpunkt P_M befestigt, die X¹- und X²-Achsen liegen in der Äquatorialsebene, die X¹-Achse zeigt in Rich­tung des Nullmeridians, die X³-Achse zeigt nach Nor­den und markiert die Erdrotationsachse.

Die beiden Koordinatensysteme und K_f sind über eine zeitabhängige Ro­ta­ti­on um die X³-Achse mit dem Winkel ωt wie folgt verknüpft:

Die Matrix D^~₃(ωt) beschreibt eine Drehung ge­gen den Uhr­zei­ger­sinn um die X³-Achse mit dem Win­kel ωt.

Ausgeschrieben wird das für die drei Basisvektoren E_(i) zu:

Das kartesische ENU-Koordinatensystem K_B eines Be­ob­ach­ters B ist wie folgt definiert:

Es ist am Standort P_B(φ_B, ϑ_B, h_B) des Be­ob­ach­ters befestigt, die x¹- und x²-Achsen lie­gen in der Tangentialebene durch den Punkt P_B, die x¹-Achse (East) zeigt nach Osten, die x²-Ach­se (North) zeigt nach Norden, die x³-Ach­se (Up) zeigt in Rich­tung Zenit (also weg vom Erd­mit­tel­punkt).

h_B ist etwa die Höhe des Beobachters über dem Ellipsoid, bei Bedarf auch die über dem Meeresspiegel.

Im Folgenden führt die Matrix D^~_i(α) eine Drehung gegen den Uhrzeigersinn um die i-Achse des Koordinatensystems mit dem Winkel α aus.

Das Koordinatensystem des Beobachters K_B ist mit den geo­zen­trischen Ko­or­di­na­ten­sy­ste­men und K_f mit einer Trans­lat­ion und einer orthogonalen Drehung wie folgt verknüpft:

Die orthogonale Matrix P^~ permutiert einfach die Ko­or­di­na­ten­ach­sen, diese Permutation der Achsen entspricht einer Drehung um die Ach­se (1,1,1).

Beachte: Die beiden Winkel ϑ und φ sind die Winkel ϑ_B und φ_B des Beobachtungsstandortes, der Index B wurde und wird im Folgenden weggelassen.

Die Matrix D^~_E e überführt die drei Basisvektoren E_(k) des geozentrischen, mitrotierenden Bezugssystems in die drei Basisvektoren e_(k) des ENU-Bezugsystems des Beobachters.

In Komponenten ausgeschrieben sieht die Matrix D^~_E e und die inverse Matrix D^~_e E wie folgt aus:

Die Matrix D^~_E^- e überführt die drei Basisvektoren E^-_(k) des geozentrischen Inertialsystems in die drei Basisvektoren e_(k) des ENU-Bezugsystems des Beobachters.

In Komponenten ausgeschrieben sieht die Matrix D^~_E^- e wie folgt aus:

Die Basisvektoren {e_i} des ENU-Bezugs­systems im Punkt P(ϑ,φ) bilden ein rechtshändiges Dreibein mit den kartesischen Koordinaten:

Die Koordinaten beziehen sich auf das geo­zen­tri­sche, mit­ro­tie­ren­de Ko­or­di­na­ten­sy­stem K_f mit der Basis {E_i}.

ϑ und φ sind die sphärischen Winkelkoordinaten des Punktes P im Ko­or­di­na­ten­sy­stem K_f.

Der Vektor e₁ zeigt nach Osten; der Vektor e₂ zeigt nach Norden.

Der Vektor e₃ zeigt in Richtung der Erdachse.

Einige nützliche Rechenhilfen:

Das Flugkörpersystem K_FK wird so gewählt, dass seine Ko­or­di­na­ten zur Beschreibung ei­ner ballistischen Flugbahn 'bes­tens' ge­eig­net sind – und eine ballistische Flugbahn liegt »mit klei­nen Ab­wei­chun­gen« in einer Ebene, der Flug­bahn­ebe­ne.

Das rechtshändige Koordinatensystem K_FK ist wie folgt definiert:

Das Flugkörpersystem K_FK ist in einem gewählten Punkt P_O auf der anfänglichen Flugbahn befestigt, die beiden Vek­toren d₁ und d₂ spannen die Tan­gen­ti­al­ebe­ne senkrecht zur Flugbahnebene auf, d₁ liegt in der Flugbahnebene und zeigt in Flug­rich­tung, d₂ steht senkrecht auf der Flugbahnebene und d₃ zeigt wie e₃ in Richtung der 'Erd­ach­se'.

h_O ist etwa die Höhe des Flugbahnpunktes über dem Ellipsoid.

'DCU' steht für 'Down-range', 'Cross-plane', 'Up'.

Einige nützliche Zusammenhänge:

Das Beobachtersystem und das Flugkörpersystem sind durch eine Translation und eine ein­fa­che Rotation um die d₃-Achse mit dem Winkel Θ_BO verknüpft, diese Rotation dreht e₁ (East) in die Flugbahn-Ebene.

Für ein Punkt P sind dessen Ortskoordinaten {xⁱ} im Beobachtersystem mit den Koordinaten im Flugkörpersystem {yⁱ} wie folgt verknüpft:

Für ein Punkt P sind dessen Geschwindigkeitskoordinaten im Beobachtersystem mit den Geschwindigkeitskoordinaten im Flugkörpersystem wie folgt verknüpft:

Für meine Zwecke ergibt sich der Winkel Ω_BO ein­fach aus den als bekannt vorausgesetzten Größen Ab­schuss­ge­schwin­dig­keit und Abschussrichtung des Flug­kör­pers, beides wird in dem Vektor v₀ zusammengefasst; die Komponenten des Vektor v₀ werden im Be­ob­ach­ter­sy­stem (ENU) mit v₀⁽ⁱ⁾ bezeichnet:

Ein Körper mit der Masse m erfährt im Schwe­re­feld der Erde am Ort P eine negative Be­schleu­ni­gung b_G senkrecht zur Tan­gen­ti­al­ebe­ne an der Äquipotentialfläche des Schwerefeldes.

Hier wird [ohne weiteres Nachdenken, weil für meine Zwecke ausreichend] die Nä­he­rung verwendet, dass das Schwerefeld rotationssymmetrisch, also nur vom Breitengrad des Punktes abhängig ist, und zusätzlich, dass die Schwerkraft ra­di­al zum Erdmittelpunkt wirkt. Die Gravitationskonstante ist also in Maßen ortsabhängig.

Die Schwerkraft, die real im Experiment auf der Erde gemessen wird, ist die Resultierende aus der Gra­vi­ta­tions­kraft, die aufgrund der Erdanziehung auf den Körper einwirkt, und aus der ihr ent­ge­gen­ge­setz­ten Zentrifugalkraft, die aufgrund der Erdrotation auf den Körper einwirkt.

Der nicht-inertiale Schwerebeschleunigungvektor b_G schließt hier die die gesamte Be­schleu­ni­gung in radialer Richtung ein.

Der Beobachterstandort P_B hat die geodätische Breite θ_B und die Höhe h_B über den Meeresspiegel (NN). g₄₅ ist die Erd­be­schleu­ni­gung am Breitengrad 45° auf Meereshöhe. Die Erdbescheunigung g_B am Beobachtungsstandort ist dann 'in einem universellen Modell' gegeben durch:

In 10 Kilometer Höhe hat in diesem Modell die Schwerebeschleunigung um 0,31% abgenommen.

Auf dem Weg zum Nordpol nimmt die Schwerebeschleunigung um 0,53 % zu, entsprehend wie der Erdradius durch die abgeplattete Erdgestalt kürzer wird.

In einem Streifen von 2° etwa um den Breitengrad von 45° nimmt die Erdbeschleunigung nur um 0,018% ab. Dieser Streifen hat eine Breite von rund 225 km. Über solche Entfernungen kann die Erd­be­schleu­ni­gung als konstant in der Breite angenommen werden.

Die Schallgeschwindigkeit in der Höhe h über den Meeresiegel ist in einem uni­ver­sel­len Modell:

Die Dichte der Luft in der Höhe h über dem Meeresspiegel (NN) ist in einem uni­ver­sel­len Modell:

ρ₀ ist die Luftdichte bezogen auf NN, H_a ist ein Skalenfaktor.

In 10 km Höhe hat die Luftdichte auf ein Drittel des Wertes auf Meereshöhe abgenommen.

Dreht sich ein Körper, hier also die Erde, mit der kon­stanten Win­kel­ge­schwin­dig­keit ω um die z-Achse, so hängen die Ko­or­di­na­ten im Iner­tialsystem mit denen im mit­be­weg­ten Ko­or­di­na­ten­sy­stem X⁽ⁱ⁾ wie folgt zusammen:

Ein Punkt P ruhe im mitbewegten System K_f. Mit einer kleinen (in­fi­ni­ti­se­ma­len) Zeit­än­de­rung δt erhält man die nebenstehenden Änderungen der Kom­po­nen­ten des Punktes - also die Ge­schwin­dig­keits­kom­po­nen­ten - im Inertialsystem:

Betrachtet man eine allgemeine Rotation mit den drei Win­kel­ge­schwin­dig­kei­ten ω^(j) jeweils um die j-Achse, so verallgemeinern sich Än­de­run­gen der Komponenten des Punktes zu:

ε^ijk ist das vollständig antisymmetrische Levi-Civita-Symbol.

Hat der Punkt P noch eine nicht weiter ein­ge­schränk­te Ei­gen­be­we­gung relativ zum mit­be­weg­ten System, so ergibt sich:

Führt man den axialen Rotationvektor ω und das Vektorprodukt ein, so lassen sich die Kom­po­nen­ten­glei­chun­gen vektoriell zu­sam­men­fas­sen:

Die Variation des Ortes eines Punktes in der Zeit definiert den iner­tia­len Ge­schwin­dig­keits­vek­tor v:

Die Variation der Geschwindigkeit eines Punk­tes in der Zeit de­fi­niert den inertialen Be­schleu­ni­gungs­vek­tor b:

Das ergibt die Coriolisbeschleunigung b_C und die Zen­tri­pe­tal­be­schleu­ni­gung b_Z:

Die Corioliskraft K_C = m b_C wirkt senkrecht zur (aktuellen) Ro­ta­tions­ach­se und wirkt zudem senkrecht zum Ge­schwin­dig­keits­vek­tor eines bewegten Körpers der Masse m und führt damit zu einer zusätzlichen trans­ver­sa­len Bewegung des Körpers.

Ein Beispiel: Fliegt ein Körper mit der Geschwindigkeit 300 m/s (1080 km/h), so ergibt sich eine Coriolisbeschleunigung von maximal 0,022 m/s², das sind zwar nur Bruchteile der Gra­vi­ta­tions­be­schleu­ni­gung (0,22%). Allerdings hat diese Coriolisbeschleunigung diese ganz andere, ablenkende Wir­kung senkrecht zur eigentlichen Bewegungsrichtung, was ihrer Wirkung eine neue Qualität verleiht, man schaue sich ihre Wirkung etwa in der Erdatmospäre an.

Bläst der Wind etwa stetig in Ostrichtung, so wirkt die Coriolisbeschleunigung in Richtung Norden, der anfängliche Ostwind wird auf seinem Weg nach Osten nach und nach und immer mehr in die nördliche Richtung abgelenkt. Die erstaunliche Corioliskraft bewirkt also eine großräumige Windablenkung und hat damit eine gestaltende Kraft in der Erdatmospäre.

Im ENU-Beobachtersystem K_B(θ_B) erhält man für die Co­rio­lis­be­schleu­ni­gung die kartesischen Komponenten (θ=θ_B):

Am Nordpol ist θ_B=π/2:

Am Äquator ist θ_B=0:

Im DCU-Flugkörper-Bezugssystem K_FK er­hält man für die kartesischen Komponenten der Co­rio­lis­be­schleu­ni­gung:

, θ=θ_B

Einen sehr schönen Nachweis der Erdrotation im Kleinen lässt sich mit dem Foucault’schen Pendel aufzeigen. Ein solches ist etwa im deut­schen Museum in München zu besichtigen.

Das Pendel scheint zunächst einfach nur in einer Ebene hin und her zu schwingen; wartet man allerdings eine kleine Zeit, so sieht man, das die Schwingungsebene sich langsam um die vertikale Achse dreht. Markierungen am Boden helfen, die Gewissheit zu unterstützen. Für den Beobachter sieht es so aus, als gäbe es eine Kraft senkrecht zur Schwingungsebene des Pendels, die zu einem Drehmoment führt, welches die Drehung der Schwingungsebene bewirkt; diese scheinbar wirkende Kraft ist eben die Corioliskraft – eine sogenannte Scheinkraft, denn nicht die Schwingungsebene des Pendels dreht sich, wie es für den Beobachter den An­schein hat, son­dern es dreht sich der Boden unter dem Pendel.

Man kann sich diesen Umstand gut verdeutlichen, wenn man das Pendel gedanklich (oder auch tatsächlich) am Nordpol schwingen lässt: Die Erde muss sich offensichtlich in 24 Stun­den einmal unter dem Pendel hinweg drehen mitsamt dem auf der Erde stehenden Beobachter. Erst ein Beobachter, der aus dem Weltraum das Treiben am Nordpol beobachtet, würde zweifelsfrei feststellen, dass sich die Erde dreht und dass das Pendel seine ursprüngliche Schwingungsrich­tung beibehält.

Nun fällt es auch nicht mehr schwer, abzuschätzen, wie lange in etwa ein Beobachter warten muss, bis er sein Heureka über den Erfolg des Experiments ausstoßen darf.

Der Namensgeber des Pendels „Foucault verwendete einen schweren Pendelkörper von 28 Kilogramm, der an einem 67 Meter lan­gen, dünnen Draht aufgehängt war. Das hohe Gewicht des Pen­del­körpers stabilisierte die Pen­del­be­we­gung und machte sie dadurch weniger anfällig gegen Störungen durch Luft­strö­mun­gen oder Verdrillung des Drahts. Die Länge des Pendels hingegen ermöglichte eine gro­ße Schwin­gungs­pe­rio­de (16,5 Sekunden) und lieferte einen relativ großen Pendelausschlag.

Innerhalb einer Stunde wich die Schwingungsebene um ungefähr elf Grad von der ur­sprüng­li­chen Richtung ab.“ (Antje Harder, Micro­soft Encarta 2002)

Zurück zu den fliegenden Wurfgeschossen:
Hier präsentiere ich eine Flugbahn, berechnet einmal mit und einmal ohne die Co­rio­lis­kraft - die Zen­tri­pe­tal­be­schleu­ni­gung bleibt noch außen vor.

Für die Flugbahn wurden folgende Parameter im ENU-Bezugssystem verwendet:

Kd=5,6E-04; ('Drag')

lambda=2,0/7,0; ('Lift')

Geodätische Breite=52°;

Beobachterstandort/Anfangsort=(100, 0, 0);

Richtwinkel(QE)=45°;

Azimuth(OM)=90°;

Anfangsgeschwindigkeit(MV)=330; [m/s]

MV_x=MV*cos(QE)*cos(OM);

MV_y=MV*cos(QE)*sin(OM);

MV_z=MV*sin(QE));

Anfangsgeschwindigkeit=(MV_x, MV_y, MV_z);

Mit der Corioliskraft ...

Ohne der Corioliskraft ...

Geodätische Breite: 52

Startschwindigkeit: 330

Richtwinkel : 45

Omega (Azimuth) : 90

Winddaten ENU : 0,0 | 0,0 | 0,0

===>

größte Höhe : 2406,7

Aufschlagszeit : 44,3384

Aufschlagsort DCU : 8803,8 | 16,0 | 0,0

Aufschlagsort ENU : 84,0 | 8803,8 | 0,0

Geodätische Breite: 52

Startschwindigkeit: 330

Richtwinkel : 45

Omega (Azimuth) : 90

Winddaten ENU : 0,0 | 0,0 | 0,0

===>

größte Höhe : 2406,7

Aufschlagszeit : 44,3385

Aufschlagsort DCU : 8803,8 | 0,1 | 0,0

Aufschlagsort ENU : 99,9 | 8803,8 | 0,0

Ein beliebiger Punkt P habe im mitbewegten lokalen Bezugssystem K_B (ENU), welches im Punkt P_B be­fes­tigt ist und das die Basis {eⁱ} hat, die Koordinaten {xⁱ}, dann gilt :

Im ersten additiven Term von b_Z geht der Abstand des Punktes P_B vom Erdmittelpunkt ein, al­so im wesentlichen der Erdradius. In den zweiten Term geht dagegen nur der Abstand des Flugkörpers vom Nullpunkt des Bezugssystems K_B ein. Wenn man den räumlichen Be­reich für den Flugkörper auf 100 km ansetzt, ist dieser zweite Term gegenüber dem ersten zu ver­nach­läs­sigen.

Das doppelte Kreuzprodukt wird in 2 additive Terme aufgelöst.

Der zweite Term (ω² t_MB) wirkt in radialer Rich­tung, in der auch die Schwerkraft wirkt. Dieser radiale Term geht diekt in das hier verwendete Schwerkraftmodell mit experimentell ermittelten Schwerkraftdaten auf und wird hier deshalb unterdrückt.

Im Beobachtersystem K_B (ENU) erhält man für die Zen­tri­pe­tal­be­schleu­ni­gung die nebenstehenden kartesischen Komponenten, wobei die Kom­po­nen­te in radialer z-Richtung (~ e₃) von der verwendeten Gra­vi­ta­tions­be­schleu­ni­gung absorbiert wird und deshlb hier zu 0 gesetzt wird:

Im Flugkörper-Bezugssystem (DCU) ergibt sich für die nicht-ra­dia­len Komponenten:

, θ=θ_B

Zum Vergleichen:
Eine Flugbahn, berechnet einmal mit und einmal ohne die Berücksichtung der Zen­tri­pe­tal­be­schleu­ni­gung.

Ohne dem Zentripetalbeschleunigungsterm ...

Mit dem Zentripetalbeschleunigungterm ...

Geodätische Breite: 52

Startschwindigkeit: 330

Richtwinkel : 45

Omega (Azimuth) : 90

Winddaten ENU : 0,0 | 0,0 | 0,0

===>

größte Höhe : 2406,8

Aufschlagszeit : 44,3387

Aufschlagsort DCU : 8790,1 | 15,9 | 0,0

Aufschlagsort ENU : 84,1 | 8790,1 | 0,0

Geodätische Breite: 52

Startschwindigkeit: 330

Richtwinkel : 45

Omega (Azimuth) : 90

Winddaten ENU : 0,0 | 0,0 | 0,0

===>

größte Höhe : 2406,7

Aufschlagszeit: 44,3384

Aufschlagsort DCU : 8803,8 | 16,0 | 0,0

Aufschlagsort ENU : 84,0 | 8803,8 | 0,0

Die Komponenten des Beschleunigungs­vektor b_G(P) am Ort P des Flugkörpers ergeben sich wie folgt, wobei die folgenden Größen verwendet werden:

P_B ist der Beob­achter­standort und h_P die dazugehörige Höhe des Beobachters über den Meeresspiegel.

h_P ist die Höhe des Flugkörpers über den Meeresspiegel.

Für den Beschleunigungs­vektor b_G(P) über der Flugbahn wird vereinfachend angesetzt, dass er in Richtung des Erdmittelpunktes weist.

Zudem wird über die Flugbahn die Abhängigkeit des Beschleunigungs­vektors von der geodätischen Breite vernachlässigt. Es verbleibt für g_P=g(P) die quadratisch inverse Abhängigkeit vom Erdabstand |R_P|:

Mit diesen Näherungen lässt sich die Stärke des Gravitationsfeldes g_P an einem Punkt P der Flugbahn durch seine Stärke am Beobachtungspunkt g_B ausdrücken:

Somit ergibt sich in den angedeuteten Näherungen der nebenstehende Beschleunigungsvektor durch das Gravitationfeld.

Anmerkung: In dem verwendeten Wert für g_B geht die radiale Komponente der Zentripetalkraft mit ein.

Im Beobachter-Bezugssystem (ENU) ergibt sich für R_P:

Und in erster Näherung in R_e ergibt sich für die Kom­po­nen­ten des Be­schleu­ni­gungs­vek­tors im Be­ob­ach­ter-Bezugsystem (ENU) :

De Komponenten des Be­schleu­ni­gungs­vek­tors im Flugkörper-Be­zugs­sys­tem (DCU) sind:

Zum Vergleich: Eine Flugbahn, berechnet mit unterschiedlichen Näherungen für die Gravitationskraft - aber ohne den nichtradialen Zen­tri­pe­tal­be­schleu­ni­gungs­term.

Die vollständige Variante ...

Ohne die 1/R_e-Korrekturen ...

Geodätische Breite: 52

Startschwindigkeit: 330

Richtwinkel: 45

Omega (Azimuth): 90

Winddaten ENU: 0,0 | 0,0 | 0,0

===>

größte Höhe: 2406,7

Aufschlagszeit: 44,3384

Aufschlagsort DCU: 8803,8 | 16,0 | 0,0

Aufschlagsort ENU: 84,0 | 8803,8 | 0,0

Geodätische Breite: 52

Startschwindigkeit: 330

Richtwinkel: 45

Omega (Azimuth): 90

Winddaten ENU : 0,0 | 0,0 | 0,0

===>

größte Höhe: 2405,9

Aufschlagszeit: 44,3169

Aufschlagsort DCU: 8804,2 | 15,8 | 0,0

Aufschlagsort ENU : 84,2 | 8804,2 | 0,0

Durch den Luftwiderstand wird ein Flugkörper abgebremst, die Luft muss längs der Flugbahn verdrängt werden. Der Luftwiderstand führt zu einer negativen Be­schleu­ni­gung in Richtung des Ge­schwin­dig­keits­vek­tors. Im Bereich der Schall­ge­schwin­di­gkeit von 0,85 Mach bis 1,3 Mach treten zudem mit steigender Geschwindigkeit Stoß­wel­len auf, die den Luft­wi­der­stand maßgeblich bestimmen.

Die durch den Luftwiderstand verursachte Be­schleu­ni­gung b_R (R steht für Reibung) wird in einem erd­ge­bun­de­nen Koordinatensystem durch die ne­ben­ste­hen­de For­mel beschrieben:

ist der Geschwindigkeitsvektor relativ zur um­ge­ben­den Luft. Kennt man also aus den Wet­ter­da­ten die Windgeschwindigkeit w in unterschiedlichen Höhen, so kann man ent­spre­chend auf den effektiven Geschwindigkeitsvektor korrigieren.

ρ ist die lokale Luftdichte [kg/m³], sie hängt von der Höhe ab.

K_d ist der Luftwiderstandsparameter [m²/kg]. Er hängt von der Form und der Masse des Flug­kör­pers ab. Ein einfacher Ansatz ist auf­ge­führt, wobei Q_FK den Flächenquerschnitt des Kör­pers bemisst, M_FK ist seine Masse.

M_S ist die Machzahl, gebildet aus Geschwindigkeit des Flugkörpers und der lokalen Schall­ge­schwin­dig­keit v_S.

C_d ist der dimensionslose Luftwiderstandskoeffizient, er hängt von der Geschwindigkeit des Flug­kör­pers ab, hier über die Machzahl M_S ein­ge­führt. Die genaue Form des Koeffizienten variiert mit dem Flugkörper – hier wird ein universelles Modell verwendet.

Im Beobachter-Bezugssystem (ENU) ergibt sich:

Im Flugkörper-Bezugssystem (DCU) wird das zu:

... mit den Komponenten von w_FK

„Im Bereich der Unterschallgeschwindigkeit, d. h. unter 0,85 Mach, ist die einzige at­mo­sphä­ri­sche Störung eine Turbulenz hinter dem Projektil. Im Bereich der Schall­ge­schwin­di­gkeit von 0,85 Mach bis 1,3 Mach treten mit steigender Geschwindigkeit Stoß­wel­len auf. Im unteren Teil die­ses Geschwindigkeitsbereichs entstehen Stoßwellen an allen Unebenheiten des glatten Pro­jek­til­man­tels.

Wenn die Ge­schwin­dig­keit 1 Mach übersteigt, bilden sich vorne und hinten am Pro­jek­til Stoßwellen, die sich kegelförmig vom Projektil ausbreiten. Der Winkel an der Spitze än­dert sich mit der Geschwindigkeit des Projektils. So ist bei 1 Mach die vordere Stoßwelle im We­sent­li­chen eine Ebene, bei 1,4 Mach beträgt der Winkel des Kegels ungefähr 90 Grad. Bei 2,48 Mach hat die Stoßwelle, die das Projektil nach sich zieht, an der Spitze einen Winkel von et­was weniger als 50 Grad.“ (Microsoft Encarta 2002)

Der Cd-Koeffizient verdreifacht sich zwar im Umfeld von Mach=1, der Einfluss auf die bal­lis­ti­sche Flugbahn hält sich aber in Grenzen – in der folgenden Grafik wird die maximal er­reich­te Flughöhe bei verschiedenen Anfangsgeschwindigkeiten aufgetragen.

Zum Vergleich: Eine Flugbahn, berechnet einmal mit und einmal ohne die Berücksichtung der Luft­rei­bung, dann mit Berücksichtung der Luft­rei­bung und un­ter­schied­li­chen, in der Höhe konstanten Wind­ge­schwin­dig­kei­ten - aber ohne den Zentripetalbeschleunigungsterm.

Mit Luftreibung ...

Ohne Luftreibung ...

Geodätische Breite: 52

Startschwindigkeit: 330

Richtwinkel: 45

Omega (Azimuth): 90

Winddaten ENU: 0,0 | 0,0 | 0,0

===>

größte Höhe: 2406,7

Aufschlagszeit: 44,3384

Aufschlagsort DCU: 8803,8 | 16,0 | 0,0

Aufschlagsort ENU: 84,0 | 8803,8 | 0,0

Geodätische Breite: 52

Startschwindigkeit: 330

Richtwinkel: 45

Omega (Azimuth): 90

Winddaten ENU: 0,0 | 0,0 | 0,0

===>

größte Höhe: 2775,7

Aufschlagszeit: 47,6489

Aufschlagsort DCU: 11116,7 | 22,7 | 0,0

Aufschlagsort ENU: 77,3 | 11116,7 | 0,0

Mit konstantem Wind w=(-10, -10, 0) ...

Mit konstantem Wind w=(-100, -100, 0) ...

Geodätische Breite: 52

Startschwindigkeit: 330

Richtwinkel: 45

Omega (Azimuth): 90

Winddaten ENU: -10,0 | -10,0 | 0,0

===>

größte Höhe: 2370,3

Aufschlagszeit: 43,9955

Aufschlagsort DCU: 8647,4 | 15,5 | 0,0

Aufschlagsort ENU: 84,5 | 8647,4 | 0,0

Geodätische Breite: 52

Startschwindigkeit: 330

Richtwinkel: 45

Omega (Azimuth): 90

Winddaten ENU: -100,0 | -100,0 | 0,0

===>

größte Höhe: 1919,3

Aufschlagszeit: 39,1737

Aufschlagsort DCU: 6607,4 | 10,4 | 0,0

Aufschlagsort ENU: 89,6 | 6607,4 | 0,0

Mit konstantem Wind w=(+10, +10, 0) ...

Mit konstantem Wind w=(+100, +100, 0) ...

Geodätische Breite: 52

Startschwindigkeit: 330

Richtwinkel: 45

Omega (Azimuth): 90

Winddaten ENU: 10,0 | 10,0 | 0,0

===>

größte Höhe: 2434,1

Aufschlagszeit: 44,594

Aufschlagsort DCU: 8927,0 | 16,3 | 0,0

Aufschlagsort ENU: 83,7 | 8927,0 | 0,0

Geodätische Breite: 52

Startschwindigkeit: 330

Richtwinkel: 45

Omega (Azimuth): 90

Winddaten ENU: 100,0 | 100,0 | 0,0

===>

größte Höhe: 2492,4

Aufschlagszeit: 45,1384

Aufschlagsort DCU: 9277,0 | 17,3 | 0,0

Aufschlagsort ENU: 82,7 | 9277,0 | 0,0

Mit konstantem Wind w=(-1, -1, 0) ...

Mit konstantem Wind w=(+1, +1, 0) ...

Geodätische Breite: 52

Startschwindigkeit: 330

Richtwinkel: 45

Omega (Azimuth): 90

Winddaten ENU: -1,0 | -1,0 | 0,0

===>

größte Höhe: 2403,5

Aufschlagszeit: 44,3079

Aufschlagsort DCU: 8789,6 | 15,9 | 0,0

Aufschlagsort ENU: 84,1 | 8789,6 | 0,0

Geodätische Breite: 52

Startschwindigkeit: 330

Richtwinkel: 45

Omega (Azimuth) : 90

Winddaten ENU: 1,0 | 1,0 | 0,0

===>

größte Höhe: 2409,9

Aufschlagszeit: 44,3679

Aufschlagsort DCU: 8817,6 | 16,0 | 0,0

Aufschlagsort ENU: 84,0 | 8817,6 | 0,0

Um die Fluglage zu stabilisieren, können Flugkörper in Eigenrotation um die Längsachse ver­setzt wer­den. Diese Rotation verursacht eine Kraft, die den Flugkörper nach rechts aus der Flug­bahn-Ebe­ne drückt und so zu einer transversalen Bewegung führt.

Ein einfaches, universelles Modell für diesen Spin­effekt ist:

b_S ist der Beschleunigungsvektor für den Spin­ef­fekt. 'S' steht für 'Spin'. λ gibt die Größe des Ef­fek­tes an.

d₂ ist der Basisvektor im Flugkörpersystem K_FK (DCU), der senkrecht auf der Flug­bahn-Ebe­ne steht.

e_i sind die Basisvektor im Beobachtersystem K_B (ENU).

Zum Vergleich: Eine Flugbahn, berechnet einmal mit und einmal ohne die Berücksichtung des Spin­ef­fek­tes - aber ohne den Zen­tri­pe­tal­be­schleu­ni­gungs­term.

Ohne dem Spineffekt ...

Mit dem Spineffekt ...

Geodätische Breite: 52

Startschwindigkeit: 330

Richtwinkel: 45

Omega (Azimuth): 90

Winddaten ENU: 0,0 | 0,0 | 0,0

===>

größte Höhe: 2406,7

Aufschlagszeit: 44,3384

Aufschlagsort DCU: 8803,8 | 16,0 | 0,0

Aufschlagsort ENU: 84,0 | 8803,8 | 0,0

Geodätische Breite: 52

Startschwindigkeit: 330

Richtwinkel: 45

Omega (Azimuth): 90

Winddaten ENU: 0,0 | 0,0 | 0,0

===>

größte Höhe: 2406,7

Aufschlagszeit: 44,3402

Aufschlagsort DCU: 8804,3 | -240,2 | 0,0

Aufschlagsort ENU: 340,2 | 8804,3 | 0,0