Anstatt gleich schweres Geschütz aufzufahren, sollte man natürlich mit einfachen Fragen be­gin­nen: „Wie verhalten sich die Bauteile einzeln in einem Gleichstrom-Stromkreis?“, „Wie ver­hal­ten sich die Bauteile in einem Wechselstrom-Stromkreis?“ Kein Problem, mit dem Baukasten Xcos lassen sich in SciLab sym­bo­li­sche Blöcke zu Schaltkreisen zusammenstellen, die sich aus­fü­hren lassen.

Hier zwei Beispiele, die sich auf den gleichen Schaltkreis beziehen: Ein einfaches RC-Glied wird jeweils mit zwei Wechselspannungen unterschiedlicher Frequenzen (0,4 und 20 Hertz) ge­speist. Zunächst wird die Span­nung am Widerstand U_R und die Eingangsspannung U_i gemessen uud ausgegeben, dann wird die Spannung am Kondensator U_C und die Eingangsspannung ge­mes­sen aud ausgegeben.

Die Eingangsspannung ist schwarz gezeichnet, die Ausgangsspannung grün.

Ein Hochpassfilter mit Xcos

Das Hochpass-Filter filtert tiefe Frequenzen!

Ein Tiefpass-Filter mit Xcos

Das Tiefpass-Filter filtert hohe Frquenzen

Einfach und eindrucksvoll. Das Hochpass-Filter lässt also hohe Frequenzen passieren, das Tief­pass-Fil­ter eben tiefe.

Da für die Spannungen U_i=U_R+U_C gilt, ergäbe sich natürlich aus der einen Lösung gleich auch die an­dere.

Die Kirchhoffschen Gesetze für elektrische Strom­­krei­se verbinden die Ströme durch und die Span­­nun­gen an den Bauteilen des ein­fa­chen Schalt­kreises. Die zeitabhängige Ein­gangs­span­nung ist U_i.

Bei gegebener Eingangsspannung U_i(t) erhält man die Differentialgleichung für den Strom im Schwing­­kreis:

Die allgemeine Lösung I(t) dieser DGL setzt sich zusammen aus einer partikulären Lösung der in­ho­mogenen DGL und zwei linear un­ab­hän­gi­gen Lö­sungen der zugeordneten ho­mo­ge­nen DGL zu­sam­men.

Die Größe 'd_f' steht für die Däm­pfungs­kon­stan­te, der Index 's' steht für 'Schwin­gungs­fak­tor'.

Die homogenen Lösungen verschwin­den al­ler­dings mit wachsendem t, sodass die sta­tio­nä­re Lösung durch die partikuläre Lösung be­stimmt wird.

Der Schwingkreis soll nun von außen durch ein sinusförmiges Anregungssignal stimu­liert wer­den. Ge­sucht wird eine partikuläre Lösung, wobei man am besten in der komplexen Ebene rechnet.

Die Kreisfrequenz der Eingangsspannung ist ω. Mei­ne Eingangsspannung ist der Ima­gi­när­teil.

Der Index '0' steht für 'Maximalwert'.

Der Schaltkreis wird mit der An­re­gungs­fre­quenz ω oszillieren, ich mache daher den ein­fa­chen Ansatz mit den beiden noch zu be­stim­men­den reellen Kon­stanten I₀ und δ.

Setzt man den Ansatz in die DGL für I(t) ein, er­hält man eine zeitunabhängige Be­zie­hung, aus der sich die beiden Unbekannten aus Betrag und Pha­se be­rech­nen lassen.

ω ist die Anregungskreisfrequenz und ω_r die Re­so­nanzkreisfrequenz:

Damit erhält man den asymptotischen oder sta­tio­nären Stromanteil im seriellen Schwing­kreis und wei­ter die Spannung am Widerstand, die am Kon­densator und die an der Spule.

Der Pfeil bedeutet: 'Strebt asymptotisch gegen'.

Und die Gesamtspannung an Kondensator und Spu­le ist:

Ist die Anregungsfrequenz gleich der Re­so­nanz­fre­quenz, so schließt sich das LC-Glied so­zu­sa­gen kurz: Die Gesamtspannung an Spu­le und Kon­­den­sa­tor ist nun identisch null und der Strom und die Spannung am Wi­der­stand sind pha­sengleich.

Das Diagramm zeigt den Amplitudengang der Span­nung am Widerstand gegen die An­re­gungs­fre­quenz ω für drei ver­schie­de­ne Wi­der­stands­werte.

Amplitudengänge der Spannung am Widerstand

Für kleine Widerstände zeigt der Verlauf eine scharfe Spitze bei der Resonanzfrequenz 5033 Hertz. Die Frequenzen außerhalb eines Bandes um die Resonanzfrequenz werden mehr oder we­ni­ger stark un­ter­drückt.

Der Phasenverlauf zwischen dem Strom und der Spannung am Widerstand wird ebenfalls stark durch den Widerstandswert geprägt, je kleiner der Widerstand ist, um so steiler ist der Pha­sen­sprung bei der Resonanzfrequenz 5033 Hertz des Serienschwingkreises.

Phasenverläufe zwischen Strom und Spannung am Widerstand

Die Amplituden der Einzelspannungen am Kon­den­sa­tor und an der Spule zeigen das Phä­no­men der Resonanzüberhöhung in der Nähe der Re­sonanzfrequenz.

Amplitudenverläufe der drei Spannungen bei R=10 Ohm

Die Einzelamplituden der Spannungen an Spule und Kondensator können ein Vielfaches der Am­pli­tu­de der Eingangsspannung betragen. Man beachte aber, dass die Summe der beiden Ein­zel­spannungen im Resonanzfall verschwindet, denn die Spannungen an Spule und Kondensator sind im Resonanzfall um 180° phasenverschoben.

Die Maxima der drei Amplituden sind wegen der Dämpfung durch den Widerstand leicht ver­scho­ben, nur die Spannung am Widerstand ist bei der Resonanzfrequenz maximal.

Nicola Tesla hat die Spannungsüberhöhung in seinem Tesla-Transformator ausgenutzt, um die Span­nun­gen hochfrequenter Ströme auf mehrere Millionen Volt zu steigern.

Eine kleine 'Kurvendiskussion' führt zu den ent­sprechenden Resonanzfrequenzen für die Span­nungsverläufe am Spule und Kon­den­sa­tor.

Meist werden nur die stationären Lösungen der Schwingkreise vorgestellt – ich möchte mir ein­fach so die zeitlich vollständige Lösung für die Spannungen anschauen. Die Dif­fe­ren­tial­glei­chun­gen müssen dazu auf den Tisch. U_a steht für die gerade angepeilte Spannung.

Spannung am Kondensator

Spannung an der Spule

Spannung am Widerstand

Die drei DGLn unterscheiden sich also nur in der Inhomogenität, der Eingangsgröße. Für drei ver­schie­dene Anregungsfrequenzen soll nun der zeitlich Spannungsverlauf berechnet werden. Die sinusförmige Ein­gangsspannung ist als schwarze Kurve zu sehen. Als Anregungsfrequenzen werden gewählt: ω_r - 1½ ω_r - ½ ω_r .

Die Anfangsbedingungen sind immer dieser Art:

U_i(t) = U_i0 sin(ω t)

Die Resonanzfrequenz für den Schaltkreis ist
5033 Hertz.

U_a(t):

R=10; // Ohm

L=1,0E-3; // Henry

C=1,0E-6; // Farad

ResFreq=5033; // Hertz

U_i0=1; // Volt

Zeitlicher Spannungsverlauf für U_R bei f=ResFreq

Spannungsverlauf für U_C und U_L bei f=ResFreq

Spannungsverlauf für U_R bei f=ResFreq*1,50

Spannungsverlauf für U_C und U_L bei f=ResFreq*1,50

Spannungsverlauf für U_R bei f=ResFreq*0,50

Spannungsverlauf für U_C und U_L bei f=ResFreq*0,50

U_i(t) = U_i0 sin(2π f₁ t) + U_i0 sin(2π f₂ t)

Die Resonanzfrequenz für den Schaltkreis ist 0,4 Hertz.

U_a(t):

R=10,0; // Ohm

L=3,165; // Henry

C=0,05; // Farad

ResFreq=0,4; // Hertz

U_i0=1; // Volt

f₁=20,0; // Hertz

f₂=0,4; // Hertz

Xcos-Blockschaltbild

Spannungsverlauf für U_i und U_R (grün)
Die hohe Frequenz ist kurzgeschlossen

Ein System S werde durch einen Zustandsvektor x beschrieben. Angetrieben durch einen Vektor von Ein­gangsgrößen u_i verändert sich das System zeitlich in linearer Weise.

Die Änderung des Zustandsvektors wird durch 2 Matrizen A und B beschrieben, die Matrix A ist qua­dratisch.

Ein Beobachter misst einen Satz von Aus­gangs­größen y_B, die Ausgangsgrößen sollen in einem li­nearen Zusammenhang mit dem Systemzustand und den Eingangsgrößen ste­hen.

Solche System lassen sich mit dem SciLab Xcos-Block CLSS (Continuous State-Space System) erfassen.

Über eine Variation der Konstanten lässt sich auch eine geschlossene Lösung angeben:

Die SciLab-Funktion 'csim' kann hier zur Be­rech­nung einspringen.

Der serielle Schaltkreis-Widerstand, Spule und Kondensator in Reihenschaltung - soll nun als ein li­nea­res System in einem geeigneten Zustandsraum beschrieben werden. Als Zu­vstands­va­ri­ab­len werden der Strom I und die Spannung am Kondensator U_C gewählt.

Die beiden Gleichungen zur Beschreibung des Sy­stems sind:

Bringt man die Ableitungen auf die linke Seite, lässt sich die Matrizengleichung ablesen:

Die Systemgleichung beschreibt die Än­de­run­gen im System unter dem Einfluss der einen Ein­ga­begröße U_i.

Die eine Messgröße U_a ist die Spannung am Kon­densator, daher ist die Be­ob­ach­ter­glei­chung:

Dieses Gleichungssystem soll nun mit den symbolischen Hilfsmitteln von SciLab, Xcos ge­nannt, gelöst werden. Das Matrizensystem nimmt der zentrale Bock 'Continuous state-space system' (CLSS) auf, der ganze linke Teil des Diagramms erzeugt nur die Ein­gangs­wech­sel­span­nung der Frequenz f, der rech­te Teil dient der Ausgabe. Mein erstes funktionierendes Xcos-Block­schaltbild!

Xcos-Block-Diagramm für das 'Continuous state-space system'

Die Kontext-Parameter

Die Matrizen

An verschiedenen Stellen müssen verschiedene Zeiten für die Simulation gesetzt werden. Das Zu­sam­men­wirken der Zeiten erschließt sich für den Anfänger auch aus der Dokumentation nicht ohne Wei­te­res. Es brauchte bei mir einige Probiererei.

Block CSCOPE: 'Refresh period'

Block CLOCK_c: 'Period'

Dialog 'Simulation -> Einstellungen': 'Finale Integrationszeit'

Voilà! Der Spannungsverlauf für die Spannung am Kondensator mit einer Anregungsfrequenz von ω_r.

Spannungsverlauf für U_C (schwarz) bei f=ResFreq

Diese hübschen Blockschaltbilder, die man auch ausführen kann, haben mich fasziniert – aber ein leich­teres und schnelleres Spiel hatte ich damit nicht, im Augenblick bevorzuge ich doch noch einige Zeilen Quell­code:

• In den Zeilen 3-5 und 12-15 werden die 4 Zustandsmatrizen definiert.
• In der Zeile 18 wird mittels 'syslin' ein kontinuierliches lineares System für SciLab im Zeitenraum de­fi­niert.
• Die Zeile 21 legt 1001 Zeiten in einem Vektor an.
• Die Zeile 22 berechnet für all diese Zeiten in einem Schwung die Eingangsspannungen.
• Die Zeile berechent mittels 'csim' die Zeitantwort des linearen Systems - das ist hier die Aus­gangs­span­nung am Kondensator.
• Die Zeile 38 gibt das Diagram aus.

Quellcode für U_C mit 'csim'

Viele Wege führen nach Rom
Noch einmal die Spannung am Kondensator

Statt einer Wechselspannung soll nun ei­ne Gleich­spannung von 1 Volt an­ge­legt werden, die zur Zeit t=0 ein­ge­schal­tet wird. Mit einem Blockdiagramm ist das schnell getan, es wird ei­ne Stu­fen­funk­tion verwendet:

Xcos-Blockschaltbild

Wohlbekannt, das ist Einschwingvorgang beim Ein­schal­ten einer Gleichstromquelle – er ist be­en­det, wenn der Kondensator auf­ge­la­den ist, da­nach fließt kein Strom mehr, die Span­nung am Widerstand (schwarz) ist dann 0, die Span­nung am Kon­den­sa­tor ist gleich der für t>0 kon­stan­ten Ein­gangs­span­nung (grün) von 1 Volt.

Einschaltvorgang

Die (einseitige) Laplace-Transformierte einer Fun­ktion f(t), mit f(t)=0 für t<0, ist gegeben durch:

Die Laplace-Transformierte der Sinus- oder der Co­sinus-Funktion sind etwa:

Mit einer Laplace-Transformation lässt sich die Differentialgleichung mit kon­stan­ten Koef­fi­zien­ten in eine algebraische Gleichung im La­pla­ce-Raum überführen:

Im Laplace-Raum sind Ausgabe und Ein­gabe ein­fach über eine rationale Über­gangs­funk­tion verknüpft.

Für den seriellen Schaltkreis mit der Dif­fe­ren­ti­al­glei­chung erhält man:

Mit dem Xcos-Block 'Continuous transfer function' hat man eine weitere Lösungsmöglichkeit des Pro­blems an der Hand.

Symbolische Xcos-Problemlösung mit Hilfe der Transferfunktion

Der Spannungsverlauf für die Spannung am Kon­denstor (schwarz) mit einer An­re­gungs­fre­quenz von diesmal ¼ ω_r.

'Weißes Rauschen' klingt nach alten Zeiten - nach dem Physikpraktikum im fünften Semester in den Ka­ta­kom­ben der Uni Mainz. Da gab es Analogrechner und man musste stöpseln.

U_i(t) = U_i0 sin(2π f₁ t) + 'Weißes Rauschen'

Die Resonanzfrequenz des Schaltkreises ist
0,4 Hertz.

U_a(t):

R=10; // Ohm

L=3,165; // Henry

C=0,05; // Farad

f₁=0,4; // Hertz

U_i0=1; // Volt

Zur Lösung wird die SciLab-Funktion 'csim' ver­wen­det, als Vorlage kann das oben be­bil­der­te csim-Beispiel verwendet werden.

Dem reinen Sinus-Signal (Zeile 14) wird additiv wei­ßes Rauschen 'wnoise' (Zeile 15) mit dem Mit­telwert 0 und der Standardabweichung 1 hin­zugefügt (Zeile 15), wie es der Code-Schnipsel zeigt.

Das Diagramm zeigt die verrauschte Ein­gangs­span­nung (grün) und die geglättete Aus­gangs­span­nung am Kondensator (rot).

Das Frequenzspektrum zeigt in der Tat ein Rau­schen mit einer Spitze bei 0,4 Hertz.

Code-Schnipsel

Frequenzspektrum des Eingangssignals

Die Ausgangsspannung am Kondensator (rot)
bei verrauschter Eingangsspannung (grün)

Mich hat das Ergebnis durchaus überrascht, so dass ich schon an einen Fehler meinerseits ge­dacht ha­be. Daher habe ich für das nächste Dia­gramm das Rauschen her­aus­ge­nom­men und im über­näch­sten nur das Rauschen als Ein­gangsspannung verwendet und dazu noch des Fre­quenz­spek­tum der Aus­gangsspannung am Kondensator untersucht - die Er­geb­nis­se sind plau­sibel.

Die Ausgangsspannung am Kondensator (rot)
bei nicht-verrauschter Eingangsspannung (grün)

Die Ausgangsspannung am Kondensator (rot)
nur mit Weißem Rauschen als Eingangsspannung (grün)

Das Frequenzspektrum der Ausgangsspannung am Kondensator
nur mit Weißem Rauschen als Eingangsspannung

Im vorletzten Zeitdiagramm kaum zu erkennen! Wird dieser Schwingkreis mit weißem Rau­schen ge­füt­tert, so hat die Frequenzantwort, das Frequenzspektrum der Ausgangsspannung hier am Kon­den­sa­tor, bei der Resonanzfrequenz ein Maximum.

Zum Vergleichen sei hier noch das Frequenzspektrum (und der Phasengang) gezeigt, wie er von Sci­Lab mit der 'bode'-Funktion erzeugt wird. Es passt, ein breites Maximum und bei 5 Hz ist nichts mehr da ...

Die beiden Bode-Diagramme, wie sie SciLab erzeugt

Die Kirchhoffschen Gesetze für elektrische Strom­krei­se verbinden die Ströme durch und die Spannungen an den Bauteilen des ein­fa­chen Schaltkreises. Die zeitabhängige Ein­gangs­span­nung ist U_i.

Der Schaltkreis wird mit der An­re­gungs­fre­quenz ω oszillieren, ich mache daher für die Span­nung am Widerstand den einfachen An­satz mit den bei­den noch zu bestimmenden re­el­len Kon­stan­ten U₀ und δ.

Die Amplitude der Spannung am ohmschen Wi­der­stand ist eine Funktion der An­re­gungs­span­nung und verschwindet an der Re­so­nanz­fre­quenz.

Amplitudengang der Spannung am Widerstand bei R=10 Ohm

U_i(t) = U_i0 sin(ω t)

Die Resonanzfrequenz für den Schaltkreis ist
5033 Hertz.

U_a(t):

R=10; // Ohm

L=1,0E-3; // Henry

C=1,0E-6; // Farad

ResFreq=5033; // Hertz

U_i0=1; // Volt

Ein prächtiges Diagramm! Im Resonanzfall kriecht die Spannung am Widerstand in wenigen Pe­rio­den gegen null, die gesamte Spannung liegt am Kondensator an.

Spannungsverlauf für U_C und U_R bei f=ResFreq

Spannungsverlauf für U_C und U_R bei f=ResFreq*1,50

Spannungsverlauf für U_C und U_R bei f=ResFreq*10

Spannungsverlauf für U_C und U_R bei f=ResFreq*0,50

Spannungsverlauf für U_C und U_R bei f=ResFreq*0,01

Für kleine und große Frequenzen liegt also fast die gesamte Spannung am Widerstand, denn für klei­ne Fre­quenzen hat die Spule nur einen kleinen Scheinwiderstand (Impedanz) und umgekehrt hat der Kon­den­sa­tor für große Frequenzen nur eine kleine Impedanz. Sind Spule und Kon­den­sa­tor wie hier pa­ral­lel verdrahtet, so kann für kleine und große Frequenzen über das LC-Glied nur eine kleine Span­nung ab­fallen.

Hier noch die Simulation des Schaltkreises mit Xcos. Die Eingangsspannung setzt sich additiv aus 2 An­teilen unterschiedlicher Frequenz (20 und 0,4 Hertz) zusammen. Der Pa­ral­lel­schwing­kreis ist zu­nächst auf die Resonanzfrequenz von 20 Hertz abgestimmt. Dann wird die Mo­du­la­tion des Signals mit 0,4 Hz herausgesiebt.

Die Eingangsspannung ist schwarz gezeichnet, die Ausgangsspannung ist die Spannung an der Spu­le, sie ist in grün gezeichnet.

Im zweiten Fall wird der Schwingkreis leicht verstimmt, die Werte für den Kondensator und die Spu­le wer­den um den Faktor 0,95 verkleinert. Die Ausgangsspannung bricht zusammen.

Das Blockschaltbild

Auf 20 Hz abgestimmter Schwingkreis
Die tiefe, niedrige Frequenz wird ausgesiebt

Ein leicht verstimmter Schwingkreis

Im Laplace-Raum sind Ausgabe und Eingabe ein­fach über eine rationale Übergangsfunktion ver­knüpft.

Für (p²-4q)≠0 lässt sich mit den beiden Pol­stel­len der Transfer-Funk­­ti­­on, s₁ und s₂, den Null­stel­len des Nenner-Po­­ly­­noms, die Funktion ad­di­tiv auf­­spal­­ten in zwei Summanden mit ein­fa­chen Polen.

Die Transfer-Funktion auf der imaginären Achse ist aufgespalten in Real- und Imaginärteil:

Die imaginäre Achse wird durch die Transfer-Funktion auf einen verschobenen Kreis mit dem Durch­mes­ser 1 abgebildet – wie es das Nyquist-Diagramm unten auch zeigt.

Der Betrag |T_ia(i ω)| der Transferfunktion für s=iω ist:

Die Resonanzfrequenz für den Schaltkreis ist
5033 Hertz.

T_ia(ω), T_1a(ω):

R=10; R=100; // Ohm

L=1,0E-3; // Henry

C=1,0E-6; // Farad

ResFreq=5033; // Hertz

Polstellen für s/(2π) : R = 10 Ohm =>

- 14121,8 + 0,0 i

-  1793,7 + 0,0 i

Polstellen für s/(2π) : R = 100 Ohm =>

- 795,8 ± 4969,6 i

Die Transfer-Funktion für R=10 Ohm in Real- und Imaginärteil:

Die Transfer-Funktion für R=100 Ohm in Real- und Imaginärteil:

Nyquist-Diagramme für T_ia(s) mit s= (2πi f) am Kondensator

Die Nyquist-Diagramme von SciLab stellen Imaginärteil und Realteil der Transfer-Funktion in einer Ebe­­ne mit der Frequenz f als Parameter und s=(2πi f) dar.

Nyquist-Diagramm für R=10 Ohm, f = 100 ... 20000 Hz

Nyquist-Diagramm für R=100 Ohm, f = 1000 ... 10000 Hz

Der Betrag |T_ia(i ω)| der Transferfunktion für s=iω stellt das Frequenzspektrum dar:

Frequenzspektrum U_C für R=10 Ohm

Frequenzspektrum U_C für R=100 Ohm

Ich möchte nun diese Frequenzgänge sozusagen experimentell ermitteln und füttere dazu den Schalt­kreis mit Weißem Rauschen. Der Widerstand ist einmal 10 Ohm, das andere mal 100 Ohm. Die Er­geb­nis­da­ten der Frequenzanalyse mit Hilfe der SciLab-Funktion 'fft' habe ich mit dem Faktor 1/55=0,018 skaliert.

In Blau wird das gefilterte Rauschen präsentiert, die rote Kurve gibt den berechneten Fre­quenz­gang wider. Das Rauschen ist passend skaliert. Ich bin überwältigt.

Die schwarzen Symbole '+' zeigen das gefilterte Rauschen an, die rote Kurve approximiert das Er­geb­nis­rau­schen über einen Spline-Fit mit 11 Stützpunkten ('weighted least squares cubic spline fitting').

Frequenzspektrum U_C für R=10 Ohm

Frequenzspektrum U_C für R=10 Ohm

Frequenzspektrum U_C für R=100 Ohm

Frequenzspektrum U_C für R=100 Ohm

Im Laplace-Raum sind Ausgabe und Eingabe ein­fach über eine rationale Übergangsfunktion ver­knüpft.

Der Betrag der Transferfunktion für s=iω ist dann:

U_i(t) = 'Weißes Rauschen'

Die Resonanzfrequenz für den Schaltkreis ist
5033 Hertz.

T_1a(ω):

R=10; R=100; // Ohm

L=1,0E-3; // Henry

C=1,0E-6; // Farad

ResFreq=5033; // Hertz

Frequenzspektrum U_C für R=10 Ohm

Frequenzspektrum U_C für R=100 Ohm

Ich möchte nun diese Frequenzgänge sozusagen experimentell ermitteln und füttere dazu den Schalt­kreis mit Weißem Rauschen. Der Widerstand ist einmal 10 Ohm, das andere mal 100 Ohm. Die Er­geb­nis­da­ten der Frequenzanalyse mit Hilfe der SciLab-Funktion 'fft' habe ich mit dem Faktor 1/64=0,016 skaliert.

In Blau wird das gefilterte Rauschen präsentiert, die rote Kurve gibt den berechneten Fre­quenz­gang wider. Das Rauschen ist passend skaliert.

Die schwarzen Symbole '+' zeigen das gefilterte Rauschen an, die rote Kurve approximiert das Er­geb­nis­rau­schen über einen Spline-Fit mit 17 Stützpunkten ('weighted least squares cubic spline fitting').

Frequenzspektrum U_C für R=10 Ohm

Frequenzspektrum U_C für R=10 Ohm

Frequenzspektrum U_C für R=100 Ohm

Frequenzspektrum U_C für R=100 Ohm

Für die Spitze scheint die Fit-Methode nicht so ge­eignet zu sein.

Die Transfer-Funktion für die Spannung am Kon­densator (U_C=U_a) ist:

Wird eine für t>t₀ konstante Spannung von 1V zur Zeit t₀ eingeschaltet, lässt sich dies durch ei­ne Stu­fenfunktion im Zeitenraum beschreiben. De­ren Laplace-Transformierte ist gegeben durch:

Θ(t) = 0 für t<0, Θ(t) = 1 für t>0

Die Spannung am Kondensator wird dann durch Û_a beschreiben, wenn man die Eingangsgröße Û_i ersetzt:

Spaltet man die rationale Funktion nach den Po­len s₁ und s₂ auf, erhält man:

Ich nehme an, das s₁ und s₂ in der linkem, ne­ga­ti­ven Halbebene liegen. Die Spannung im Zei­ten­raum erhält man durch die inverse Lapace-Trans­formation.

Der Integrationsweg verläuft zunächst über die vertikale Strecke von (t₀ - i R) nach t₀ + i R).

Für t< t₀ wird der Integrationsweg über einen Halbkreisbogen HK_R mit dem Radius R in der rech­ten Halbebene geschlossen. In dem so definierten Gebiet G liegen keine Pole, der Integrand ist in dem Gebiet holomorph (komplex differenzierbar).

Nach dem Cauchy'schen Integralsatz verschwindet dann das Wegintegral über den Rand δG die­ses Ge­bie­tes. Es gilt daher:

Der Integrationsbeitrag des Halbkreises mit dem Radius R verschwindet mit dem Faktor e^-Rt. Für R → ∞ erhält man die Spannung am Kon­den­sa­tor für t<t₀ zu:

Für t>t₀ wird der Integrationsweg über einen Halbkreisbogen HK_R mit dem Radius R in der linken Halbebene geschlossen. In dem so definierten Gebiet G liegen zwei Pole. Den Rand dieses Gebietes G deformiert man nun so, dass die Pole von kleinen Kreisen fast umschlosssen sind und außerhalb des Gebietes zu liegen kommen.

Links im Beispiel ist der anfängli­che In­te­gra­ti­ons­weg für einen Pol aufgezeichnet. Im Innern des so entstandenen Gebietes liegen keine Pole, der Integrand ist in diesem Gebiet holomorph, das Wegintegral über den Rand des Gebietes ver­schwin­det wieder. Das gesuchte Integral über die vertikale Strecke hat dann drei Bei­träge.

Der Beitrag des großen Halbkreisbogens ver­schwin­det im Falle t>t₀ für große R.

Die beiden Wege hin und weg von den Polen wer­den in unterschiedlicher Richtung durch­lau­fen und heben sich im Grenzfall auf, wenn näm­lich die Radien der kleinen Kreise gegen 0 geht.

Es bleibt der Beitrag der kleinen Kreise k_l um die Pole, die im Grenzfall jeweils einen Pol um­schlie­ßen. Und hier gibt es die Beiträge, die nicht verschwinden, denn es sind die Polstellen, die für kom­ple­xe Funktionen bei der Integration eine Rolle spielen – gleich ein Beispiel dazu.

Das Wegintegral um den Polstelle z=0 ver­schwin­det nicht! Γ ist hier ein kleiner Kreis um den Nullpunkt der komplexen Ebene.

Damit kann man im Grenzfall das gewünschte Integral wunderbar einfach berechnen. Man beachte: die kleinen Kreise werden im Uhrzeigersinne durchlaufen – deshalb gibt es hier ein Minuszeichen.

Die resultierenden Anfangsbedingungen sind:

Ausgangsspannungen beim Einschaltvorgang U_I=Θ(t)

Die Eingangsspannung hat ja für t=t₀ eine Unstetigkeitsstelle, hier ist noch etwas Forschung von­nöten, auch was die möglichen additiven Terme angeht, die bei der Transformation der Dif­fe­ren­ti­al­glei­chun­gen in algebraische Gleichungen auftreten können.

Die experimentelle Überprüfung der inversen La­pla­ce-Transformation ist angesagt – mit ei­nem Xcos-Blockdiagramm ist das schnell er­le­digt.

Die Eingangsspannung wird zur Zeit t₀=0 ein­ge­schal­tet und macht einen sehr schnel­len Sprung auf 1V, sie bleibt für t>0 dann konstant auf 1V. Das Ergebnis passt zu den Rechnungen ...

Der Einschaltvorgang mit R=10 Ohm.

Der Einschaltvorgang mit R=100 Ohm.

Die Ausgangsspannung am Kondensator ist schwarz gezeichnet. Für kleine Widerstände ist der an­fäng­li­che Anstiegswinkel für t≈0 fast 90°, für größere Widerstände, etwa 1000 Ohm, nähert er sich der Null.

Die Kirchhoffschen Gesetze für elektrische Strom­kreise verbinden die Ströme durch und die Spannungen an den Bauteilen des ein­fa­chen Schalt­kreises. Die zeitabhängige Ein­gangs­span­nung ist U_i.

U_i(t) = U_i0 sin(ω t)

Die Resonanzfrequenz für den Schaltkreis ist 5033 Hertz.

U_a(t):

R=10; // Ohm

L=1,0E-3; // Henry

C=1,0E-6; // Farad

ResFreq=5033; // Hertz

U_i0=1; // Volt

Spannungsverlauf für U_R und U_L bei f=ResFreq

Spannungsverlauf für U_R und U_L bei f=ResFreq*1,5

Spannungsverlauf für U_R und U_L bei f=ResFreq*0,50

U_i(t) = U_i0 sin(2π f₁ t) + U_i0 sin(2π f₂ t)

Die Resonanzfrequenz für den Schaltkreis ist 0,4 Hertz.

U_a(t):

R=10,0; // Ohm

L=3,165; // Henry

C=0,05; // Farad

ResFreq=0,4; // Hertz

U_i0=1; // Volt

f₁=20,0; // Hertz

f₂=0,4; // Hertz

Xcos-Blockschaltbild

Spannungsverlauf für U_i und U_R (blau)
Die hohe Frequenz ist kurzgeschlossen

Man erhält die Transfer-Funktion;

Ersetzt man in der Transferfunktion 's' durch 'iω' und geht damit in den Fourier-Raum, so lässt sich die 'Frequenzantwort ', das ist Betrag und Pha­se der Transferfunktion, ermitteln.

Die SciLab-Funktion 'bode' gibt gleich die bei­den Diagramme recht ingenieursmäßig aus.

Weißes Rauschen mit der Amplitude 1 lässt sich durch beschreiben. Die Dia­gram­me zei­gen dann auch Spektrum und Phasengang der Aus­gabegröße, wenn man das LCR-Glied mit Wei­ßem Rauschen füttert.

Das Diagramm rechts sollte die Fre­quenz­ant­wort auf Weißes Rau­schen für einen Wi­der­stand von 100 Ohm darstellen, ge­ge­ben durch |T(iω)|:

U_i(t) = 'Weißes Rauschen'

Die Resonanzfrequenz für den Schaltkreis ist 5033 Hertz.

U_C

R=10; R=100;// Ohm

L=1,0E-3; // Henry

C=1,0E-6; // Farad

ResFreq=5033; // Hertz

Spannungsverlauf für U_i (Weißes Rauschen, gelb) und U_C (blau)

Man erkennt zwar eine filternde Wirkung, ansonsten bleibt die Art der Wirkung offen. Da kann nur ein Bummel durch den Frequenzraum helfen.

Die beiden nächsten Diagramme zeigen dieselben Informationen, das Frequenzspektrum für die Ein­gangs­span­nung und die Spannung am Kondensator. Nun erkennt man den Buckel um die Re­so­nanz­fre­quenz und die Dämpfung im ho­hen Fre­quenzbereich.

Frequenzspektrum (Ia) für U_i (Weißes Rauschen, gelb) und U_C (blau)

Frequenzspektrum (Ib) für U_i (Weißes Rauschen, gelb) und U_C (blau)

Unten sind die Bode-Diagramm von SciLab jeweils für einen Widerstand von 10 und 100 Ohm zu se­hen. Für den größeren Widerstand ist der Verlauf mar­kan­ter. Be­ach­ten Sie: Die Abszisse trägt einen lo­ga­rith­mi­schen Maßstab. Und 'dB' mag ich schon gar nicht. Aber immerhin kann man den Buckel er­kennen ...

Spektrum und Phasengang für R=10 Ohm

Spektrum und Phasengang für R=100 Ohm

Für den Widerstand von 100 Ohm soll nun noch, um vergleichen zu können, sozusagen ex­pe­ri­men­tell das Fre­quenz­spek­trum mittels Weißem Rauschen ermittelt werden. Den voll­stän­di­gen Sci­Lab-Quellcode finden Sie abgebildet.

• Die Zeilen 15-18 definieren das lineare System ausgehend von der rationalen Über­tra­gungs­funk­tion D/N (Zeile 17), die sich leicht aus der Differentialgleichung ablesen lässt.
• Die Zeile 19 ermittelt das Zeitverhalten des linearen Systems, wenn es mit Weißem Rauschen (iDa­ta) gefüttert wird.
• Die Zeile 21 führt über eine 'Schnelle Fourier-Transformation' die Frequenzanalyse durch.
• Die restlichen Zeilen dienen der Diagramm-Ausgabe.

Ich belasse es mehr oder weniger bei einem qualitativen Vergleich per In­au­gen­schein­nahme.

SciLab-Code für das Frequenzspektrum

Das Frequenzspektrum für U_c mit Weißem Rauschen (R=100 Ohm)

Die Werte für das Frequenzspektrum (blau), die die SciLab-Funktion zurückgibt, habe ich mit dem Faktor 1/(2 |T|³_max) (das ist ungefähr der Faktor 2*3,2³=0,015) skaliert. Die rote Kurve gibt den (be­rech­ne­ten) Verlauf für das Spektrum |T|¹ (kein Quadrat) wieder.

Das gefilterte, skalierte Weiße Rauschen ('+') habe ich durch eine Spline- Kurve (mit 11 Stütz­punk­ten) angenähert. Im­mer­hin, sie startet bei einem Wert knapp über die 1 und ihr Maximalwert liegt an der Re­sonanzfrequenz bei dem Wert 3,2, aber ganz zufriedenstellend ist der Vergleich nicht – hier muss noch in fachlicher Hinsicht und beim Thema SciLab nachgebessert werden.

Ein Fit für das Frequenzspektrum (R=100 Ohm) mit
'weighted least squares cubic spline fitting'

Das von SciLab erzeugte Weiße Rauschen unterliegt natürlich einem (Pseudo-)Zufallprozeß - um die­ses zu bebildern, ein weiteres 'Experiment' mit dem Rauschen. Die Übereinstimmung ist doch so schlecht nicht.

Das Frequenzspektrum für U_c mit Weißem Rauschen (R=100 Ohm)

Ein Fit für das Frequenzspektrum (R=100 Ohm) mit
'weighted least squares cubic spline fitting'

Schaltbild des Bandpass-Filters

Ich suche einen schnellen, algebraischen Lösungsansatz, der sich systematisch anwenden lässt. Habe ich erst einmal die Übertragungsfunktion im Laplace-Raum, so lässt sich mit Scilab alles damit ma­chen, was man sich wünschen kann. Naja.

Die Kirchhoffschen Regeln sind leicht an­zu­wen­den und ergeben die drei Be­stim­mungs­glei­chun­gen für die drei Ströme I_a, I_b, I_c:

Die Bestimmungsgleichungen transformiere ich in den Lapalce-Raum und schreibe sie um im ei­ne Matrix-Gleichung.

Die Matrix nenne ich M. Ihre Determinante ist det M oder auch |M|.

Die Matrix ließe sich invertieren, dann erhielte man alle drei Ströme, ich möchte die Cra­mer­sche Regel anwenden und brauche zuerst die De­ter­mi­nan­te:

Die Cramersche Regel lässt sich leicht merken, ich möch­te die Lösung für die 3. Komponente be­rech­nen und ersetze dazu die 3. Spalte in der Ma­trix M durch den Inhomogenitätsvektor (das ist die linke Seite der Matrix-Gleichung). Wun­der­bar.

Die Transferfunktion von der Eingangsgröße zur Aus­gangsgröße am Kondensator C₂ ergibt dann in einer kleinen, angenehmen Rechnerei:

Und es braucht nur einige, wenige Zeilen Code, damit SciLab das lineare System beleben kann!

Die Zeilen 17-19 legen die Koeffizienten der Po­ly­no­me fest, die Zeile 22 definiert Zähler- und Nen­ner-Polynom der rationalen Funktion, die Zeile 23 macht das lineare System auch Sci­Lab zu­gäng­lich und in Zeile 24 findet man bereits das gefilterte Rau­schen wieder.

U_i(t) = 'Weißes Rauschen'

Das Maximum des Spektralverlaufes liegt bei knapp 300 Hz.

T_ia(t):

R1=100; // Ohm

R2=1000; // Ohm

C1=3,0E-6; // Farad

C2=1,0E-6; // Farad

Frequenzspektrum U_C2

Frequenzspektrum U_C2

Die Güte eines Filters hängt von der gewünschten Breite des Bandes und der Steilheit der Flanken ab. Das ist aber eine Angelegenheit der Signalverarbeitung und der Regelungstechnik. SciLab bietet ei­ni­ge Unterstützung beim Entwerfen von Filtern.

Der Vollständigkeit halber sei noch das schnöde Bode-Diagramm, wie es SciLab erzeugt, nach­ge­scho­ben. Der Frequenzbereich geht hier nur bis 3000 Hz.

Das Bode-Diagramm für den Schaltkreis

Die obigen Differentialgleichungen zweiter Ord­nung haben die Form:

p und q sind Konstante. f(t) ist eine gegebene stetige Funktion in der Zeit. Das An­fangs­wert­pro­blem für diese DGL ist eindeutig lösbar. Die Lösung setzt sich aus einer Lösung Y_h der ho­mo­ge­nen DGL mit f(t)≡0 und einer partikulären Lösung Y_p zusammen.

Homogene Lösung:

Setzt man für die homogene Lösung einen Ex­po­nen­ti­al­an­satz an, erhält man die cha­rak­te­ris­tische Gleichung, die die homogenen Lö­sun­gen be­stimmen.

Aperiodischer Kriechfall:

Die charakteristische Gleichung hat 2 reelle Lö­sun­gen ω₁ und ω₂.

Aperiodischer Grenzfall:

Die charakteristische Gleichung hat 1 reelle Lö­sung ω.

Schwingungsfall – gedämpft und ungedämpft:

Die charakteristische Gleichung hat 2 zu­ein­an­der konjugiert komplexe Lösungen ω und ω^*.

Für p=0 ist die Schwingung ungedämpft.

Partikuläre Lösung:

Die partikulären Lösung erhält man eine sogenannte Variation der Konstanten. Dazu geht man von einem multiplikativen Ansatz für die partikuläre Lösung aus – ausgehend von 2 bekannten, linear unabhängigen Lösungen der homogenen DGL.

Die beiden Funktionen g₁(t) und g₂(t) sind so zu be­stimmen, dass Y_p die inhomogene DGL erfüllt.

Als allgemeine Lösung erhält man damit:

Die Konstanten sind aus den An­fangs­be­din­gun­gen zu berechnen.

Die obigen Differentialgleichungen zweiter Ord­nung haben die Form:

p und q sind Konstante. f(t) ist eine gegebene Funktion in der Zeit. Um diese Gleichung mit Hil­fe von Sci­Lab lösen zu können, muss diese Dif­fe­ren­ti­al­glei­chung in zwei Dif­fe­ren­ti­al­glei­chun­gen er­ster Ordnung überführt werden. Dazu wird eine Hilfsvariable Y eingeführt:

Miterhält man die beiden Dif­ferentialgleichungen erster Ordnung:

Der DGL-Löser von SciLab erhält seine In­for­ma­tionen über einen hier zwei­di­men­sio­na­len Zu­stands­vektor:

Die zu lösende DGL wird dem DGL-Löser als Funk­tion übergeben, die Funktion be­rech­net die Werte für die Ableitungen und gibt diese als Paar zurück:

Ein System S werde durch einen Zustandsvektor x beschrieben. Angetrieben durch einen Vektor von Ein­gangsgrößen u_i verändert sich das System zeitlich in linearer Weise.

Die Änderung des Zustandsvektors wird durch 2 Matrizen A und B beschrieben, die Ma­trix A ist qua­dratisch.

Ein Beobachter B misst einen Satz von Aus­gangs­grö­ßen y_B, die Ausgangsgrößen sollen in einem linearen Zusammenhang mit dem System­zu­stand und den Eingangsgrößen stehen.

Solche System lassen sich mit dem SciLab Xcos-Block CLSS (Continuous State-Space System) erfassen.

Über eine Variation der Konstanten lässt sich auch eine geschlossene Lösung angeben:

Eine im Definitionsbereich stückweis stetige Fun­ktion sei für alle t∈[0,∞) nach oben durch zwei Konstanten a und M beschränkt:

Die (einseitige) Laplace-Transformierte der Funk­tion f(t) existiert dann für alle s > a:

Eigenschaften

Mittels einer partiellen Integration erhält man die Laplace-Transformierte der zeitliche Ab­lei­tung einer Funktion zu:

Und für die zweite Ableitung gilt weiter:

Ähnliches gilt für höhere Ableitungen.

Und für das Integral einer ex­po­nen­ti­al-be­schränk­ten Funktion f gilt:

Die Faltung zweier geeigneter Funktion f und g ist definiert durch:

Die Laplace-Transformierte der gefalteten Funk­tio­nen ist dann:

Die Exponentiation führt zu einer Translation im Faltungsraum.

Rücktransformation

Die Rücktransformation erhält man mit einem In­te­gral entlang einer vertikalen Kontour in der kom­ple­xen Ebene.

Die reelle Zahl c ist so zu wählen, dass alle Singularitäten zur Linken oder zur Rechten des In­te­gra­ti­ons­weges liegen. Der Integrationsweg wird in aller Regel durch einen großen Kreis im Unendlichen ge­schlos­sen, womit sich der Residuensatz der Funktionentheorie anwenden lässt.

Beispiele

Ein einfacher Einschaltvorgang zur Zeit t₀ kann durch die Stufenfunktion beschreiben werden:

Beispiele für einfache Laplace-Transformationen sind:

Die Funktion Γ ist eben die Gamma-Funktion, die für eine natürliche Zahl n ihre Fakultät liefert: Γ(n+1)=n!.

Und mehr ...

Eine nahe Verwandte der (zweiseitigen) La­pla­ce-Trans­for­ma­ti­on ist die Fourier-Trans­for­ma­ti­on.

Für eine geeignete Funktion f ist die Fourier-Trans­for­ma­ti­on definiert durch:

Eine weitere Funktion ist die Diracsche Delta-Funk­ti­on δ(x-a), sie kam erst spät als Dis­tri­bu­ti­on zu mathematischen Ehren, sie ist de­fi­niert durch:

Dieses Delta-Gebilde lässt sich in ver­schie­de­nen For­men aus­schrei­ben:

Oder auch als die Fourier-Transformierte der iden­ti­schen 1-Fun­ktion:

Die Delta-Funktion stellt zeitlich gesehen einen kurzen Impuls dar. Im Frequenzraum ist das eine Über­la­ge­rung aller Frequenzen mit gleicher Amplitude – eben Weißes Rauschen.

Eine in einem Gebiet G definierte komplexe Funk­tion f heißt an der Stelle z₀ komplex dif­fe­ren­zier­bar, wenn a Häufungspunkt von G ist und die Ableitung f'(a) als Grenzwert exi­stiert:

Der schnelle Weg – die Funktion f ist an Stelle z₀ komplex dif­fe­ren­zier­bar, wenn dort gilt:

Die Funktion heißt in dem Gebiet G holomorph, wenn f in jeden Punkt von G komplex dif­fe­ren­zier­bar ist.

Ist G ein einfach-zusammenhängendes Gebiet und ist die Funk­tion f in G holomorph, so gilt für jede in G gelegene ein­fach-ge­schlos­se­ne Kur­ve γ:

Das Integral von Anfangs- zum Endpunkt einer Kurve ist damit unabhängig vom Verlauf der Kurve (Weg­un­ab­hän­gig­keit).

Ist f in einer punktierten Umgebung von z₀ ho­lo­morph und ist γ ei­ne z₀ um­schlie­ßen­de ein­fach-ge­schlos­se­ne Kurve mit po­si­ti­vem Um­lauf­sinn, so heißt (res f)(z₀) Residuum von f an der Stel­le z₀:

Der schnelle Weg – das Residuum einer Funk­tion f an Stelle z₀ ist:

Auch ein schneller Weg und zugleich eine Er­klä­rung für den ers­ten schnel­len Weg – er geht über die Lau­rent-Ent­wick­lung der Funk­tion f an Stelle z₀:

Residuensatz: G sei ein Gebiet, dessen Rand ∂G eine Summe von einfach-geschlos­se­nen Kur­ven ist. Die Funktion f sei in G mit höch­stens endlich vielen Ausnahmestellen z_μ (1≤μ≤n) ho­lo­morph und auf ∂G noch stetig, dann gilt:

Ein Blick zurück als Physiker: Die Funktionentheorie war doch bei vielen physikalischen Ge­le­gen­hei­ten ein elegantes und äußerst nützliches Werk­zeug. Die gelben «Behnke Sommer»-Bücher sind mir noch in bester Erinnerung. Der Herr Sommer soll mir in meiner Erinnerung doch in Münster im Schloss über den Weg gelaufen sein, lan­ge ist es her ...

Der SciLab-Quellcode (zip) - ausführbar mit einer SciLab-Installation

Scilab Group
INRIA - Unit´e de recherche de Rocquencourt - Projet Meta2
Signal Processing With Scilab
www.scilab.org
 

Manolo Venturin
Introduction To Control Systems In SciLab
www.openeering.com
 

Dr. J. Wagner
Wechselstromeigenschaften von LCR-Gliedern
www.physi.uni-heidelberg.de/Einrichtungen/AP/anleitungen/241_RC_Glied_BSc.pdf
 

Robert Grover Brown, Patrick Y. C. Hwang
Introduction to Random Signals and Applied Kalman Filtering
John Wiley & Sons, Inc, 1997
 

Fritz Reinhardt, Franz Soeder
dtv-Atlas zur Mathematik - Tafeln und Texte
• Band 1, 1976
Grundlagen, Algebra und Geometrie
• Band 2, 1977
Analysis und angewandte Mathematk
Deutscher Taschenbuch Verlag