Das Buffonsche Nadelproblem

Es geht um eine Stricknadel, eine Diele mit Dielenbrettern und die Zahl π.

Die Kreiszahl π ist eine wundersame Zahl mit wundersamen Eigenschaften, die in Problem­stellungen auftaucht, in denen ihr Erscheinen heut­zutage kein Erstaunen mehr auslöst, so wie etwa in der Eulerschen Gleichung e^iπ+1=0, wo die Zahl π leicht erkennbar in ihrem ange­stammten Zuhause der Kreis­funk­tionen wirkt.

Nicht so hier beim Buffonsche Nadelproblem – fand ich damals jedenfalls, als mir das Dielenproblem zum ersten Mal über den Weg lief und ich las, dass die Zahl π in die Lösung einginge.

In alten Häusern gibt es sie noch, die Diele, also den Hausflur mit einem Bretter­fuß­boden, der eben aus Dielen, langen, schmalen Brettern, gezimmert wurde, Dielen, die so gerne knarzen, im Alter schließlich ausgetreten sind und am Ende morsch werden. In so einer Diele fällt Ihnen eine Strick­nadel zu Boden, die zufällig gerade so lang ist wie ein einzelnes Dielen­brett breit ist; und diese Nadel landet gerade nur auf einem dieser Dielen­bretter. Das macht Sie stutzig. Wie der Zufall es will? Wie will es der Zufall? Also lassen sie die Nadel erneut fallen, sie fällt und landet nun quer zu den Holz­dielen auf deren zwei an der Zahl. Und eine Landung auf drei Dielen­brettern? Schnell nachgedacht: Für diesen Fall müsste eine längere Strick­nadel gesucht, gefunden und fallen gelassen werden.

Die Frage - und somit die Aufgabe - stellt sich, wie wahr­scheinlich es denn ist, dass die Nadel auf zwei Dielen­bretter landet. Und mit der Antwort sollte auch geklärt sein, wieso die Zahl π hier eine Rolle spielt.

Vorweg sei hier noch ein Lamento zur Erklärung eingeschoben, warum ich darauf verzichte, mit LibreOffice Writer erstellte Dokumente ins HTML-Format zu transformieren:

Wenn nicht gerade doch einmal wieder die Bilder in einem zu er­stel­len­den Dokument mir nichts dir nichts ver­rut­schen, dann ist Libre­Office Writer ein hin­reichend passables Kost­nix-Werkzeug, um Schrift­stücke mathe­matischen Inhalts mit Texten, Dia­grammen und Formeln zu erstellen. Auch der Export aus dem Libre-Haus­format odt in das standar­tisierte und somit weit­gehend trans­por­table PDF-Format klappt problem­los und erzeugt ohne wei­tere Mühen ansehn­liche Doku­mente.

Ganz anders verhält es sich mit dem ‚Speichern unter’ erstellter Libre­Office Writer-Dokumente in das HTML-Format. Das Ergeb­nis ist in äußerer Form und inhalt­licher HTML-Struktur absolut schrottig. Selbst wenn ein Python-Skript hilft, den überflüssigen HTML-Müll gleich zu entsorgen und den rest­lichen HTML-Text zu bereinigen, die Zeit ist vertan, fällt sie doch bei jedem ‚Speichern unter’ in Libre­Office Writer erneut an.

Mein Fazit: Warum soll man sich – leidvoll geprüft – mit HTML rumschlagen, wenn es PDF auch hinreichend tut!

• Meine Aus­füh­rungen zum Buffon­schen Nadel­problem. Im Dokument finden sich weitere Verweise zu diesem Problem:
• Die Nadel, die Diele und die Zahl π   (PDF)

• Der ausführbare Python-Code zur Simulation des Nadelproblems, zusammengepackt als zip-Datei:
• Die Simulation des Dielenproblems mit Python   (zip)
• Ich verwende die aktuelle Python-Version 3.12 (was kein Muss ist, uralt sollte die Version aber nicht sein – ich neige dazu, mit der Zeit zu gehen). Und als Werkzeug verwende ich das prächtige PyCharm.

• Der ausführbare Python-Code zur Simulation des Nadelproblems, zum schnellen Angucken in HTLM-Form:
• Das knackig kurze Hauptprogramm
    – Die Implementierung in Python   (HTML)
• Formeln zur zweidimensionalen Geometrie
    – Die Implementierung in Python   (HTML)

• Eine kleine Hilfestellung zu den mathematischen 'Formeln zur zweidimensionalen Geometrie' findet der Leser hier:
• Formeln zur zweidimensionalen Geometrie
    – Die mathematische Beschreibung   (PDF)